藉單位圓求三角積分（trigonometric integrals via the unit circle）

某些在整個週期上的實積分，例如從 0 到 2 pi 的 d theta / (2 + cos theta)，用實變數代換很彆扭，卻在一個複數技巧下立刻就範。想法是：當 theta 從 0 跑到 2 pi 一次時，點 z = e^(i theta) 逆時針繞單位圓一圈。於是週期上的實積分變成單位圓上的複圍道積分，由留數定理接手。

代換如何運作，逐步來。令 z = e^(i theta)。則 dz = i e^(i theta) d theta = i z d theta，故 d theta = dz / (i z)。三角函數變成 z 的有理式：cos theta = (z + 1/z) / 2、sin theta = (z - 1/z) / (2 i)，因為 z = cos theta + i sin theta 而 1/z = cos theta - i sin theta。把這三者都代進你的被積式。cos theta 與 sin theta 的有理函數化為 z 的有理函數乘以 dz / (i z)——一個沿單位圓積分的有理函數。現在找出 |z| = 1 內部的極點、算出它們的留數，積分便等於 2 pi i 乘以它們的和。

以從 0 到 2 pi 的 d theta / (2 + cos theta) 為例的草稿：代換後得 |z| = 1 上 (1 / (i z)) dz / (2 + (z + 1/z)/2) 的積分，化簡為 dz / (i (z^2 + 4 z + 1) / 2) 的積分 = (2 / i) 乘以 dz / (z^2 + 4 z + 1) 的積分。分母的根為 z = -2 加或減根號 3；只有 -2 + sqrt 3 在單位圓內。其留數由單極點公式算出，導向答案 2 pi / sqrt 3。此法能處理任何在整個週期上積分的正弦餘弦有理函數，這正是實變數方法最痛苦的那一類。