留數定理（residue theorem）

這是整個學科的大豐收，是所有機制為之打造的定理。你想把一個函數繞閉迴路積分一圈。該函數在迴路內部可能有好幾個麻煩點。留數定理說：忘掉迴路的確切形狀、也完全忘掉積分——只要在每個被圍住的壞點上加總一個局部數（留數）、再乘以 2 pi i 即可。整體積分塌縮成有限個局部資料的和。

敘述：設 f 在簡單閉圍道 gamma（逆時針繞一圈）上及其內部解析，唯獨在 gamma 內部有有限個孤立奇點 z_1, ..., z_k 例外。則 f(z) dz 沿 gamma 的積分 = 2 pi i 乘以 Res(f, z_j) 對 j = 1 到 k 的和。若圍道不簡單、繞奇點數圈，每個留數要以 gamma 對該點的卷繞數加權：積分 = 2 pi i 乘以 n(gamma, z_j) Res(f, z_j) 的和。為何成立：把迴路收縮成繞每個奇點的小圓（圍道的形變，因為 f 在其間解析故合法），每個小圓恰回報 2 pi i 乘以它的留數，正如留數的定義所保證。

這是把柯西定理與柯西積分公式都收為特例的宏大推廣。柯西定理是內部無奇點的情形（和為空，故積分為 0）。積分公式 f(z_0) = (1 / (2 pi i)) 乘以 f(z) / (z - z_0) dz 的積分，是把留數定理用在 f(z) / (z - z_0) 上，其在 z_0 處唯一的留數是 f(z_0)。除了統一理論之外，它還是解鎖無初等原函數的實積分、無窮級數、以及大半應用數學的實用鑰匙——後面每一種圍道技巧，其實都是這一條定理加上一個巧妙的曲線選擇。