柯西積分定理（Cauchy's integral theorem）

這是整個學科據以旋轉的定理，而它驚人地簡潔。若 f 在單連通區域（沒有洞的區域）上解析，則 f 繞該區域中每條封閉圍道的積分恰好為零。沒有計算、沒有特殊函數——就是零，每一次都是。從這單一事實，幾乎整個複分析展開來。

透過本章的等價來讀它，它說的更多。因為封閉迴路積分全都為零，f 的積分在該區域上與路徑無關，且 f 在那裡擁有原函數。所以柯西定理其實是說：無洞區域上的每個解析函數都有反導數——最強的良好行為。前提各司其職：「解析」（複可微）是分析的輸入，而「單連通」是拓撲的輸入，確保沒有洞讓迴路把某個奇點圈在裡面。

誠實的界限很重要。去掉單連通性，定理可能失效：1/z 在穿孔平面上解析，然而它繞一條環繞原點的迴路的積分為 2 pi i，因為那個穿孔是迴路所圈住的洞。在迴路內哪怕僅一點處去掉解析性，它也可能失效。值得注意的、也是柯西-古薩加強版的內容，是僅僅複可微就足夠了——你不需要假設導數連續，儘管結論之後反過來會證明 f 是無窮可微的。