圍道積分與柯西定理
封閉迴路積分為零（vanishing of integrals around closed loops）
封閉圍道在同一點開始與結束——一個迴路。問 f 繞每一條這樣的迴路的積分是否為零，原來是你對給定區域上的 f 所能提出最具資訊量的問題之一。若對所有迴路答案皆為「是」，則 f 在那裡表現得異常良好；若為「否」，則 f 正偵測到某種障礙，通常是一個洞或一個奇點。
這個判準位於那個偉大的等價之中：在連通開集上，連續的 f 繞每條封閉圍道的積分為零，當且僅當 f 在那裡有原函數，而後者又等價於 f 的積分與路徑無關。一個方向是基本定理（原函數迫使迴路為零，因為起點等於終點）。另一個方向藉由從固定基點積分來建構原函數——而迴路為零正是讓那個積分與所選路徑無關、因而良好定義的原因。
所以「迴路為零」是一個你有時可以直接檢驗的精簡試紙測試。反覆出現的反例是 f(z) = 1/z 在任何環繞原點的區域上：它繞原點的迴路積分為 2 pi i，而非零，標誌著那裡不存在單值原函數。柯西定理正是讓迴路為零的那個強大充分條件：解析性加上單連通區域。當這些成立時，每個迴路積分自動為零，你便可以停止檢驗。
繞單位圓，z^n 的積分對除 n = -1 外的每個整數 n 都為 0，而在 n = -1 處為 2 pi i。唯一的例外 n = -1（即 1/z）是在穿孔圓盤上唯一沒有單值原函數的冪——其餘每個冪 z^n 都有原函數 z^(n+1)/(n+1)。
z^n 的所有迴路積分都為零，唯獨 1/z 例外，給出 2 pi i。
「每個迴路積分都為零」遠強於「這一個迴路積分為零」——單一的偶然為零無法證明關於整個區域的任何事，而奇點可能讓某些迴路為零而另一些不為零。
又称
另见