柯西積分公式（Cauchy's integral formula）
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想像你只能沿著一塊田地的圍籬走，永遠不能踏進去。柯西積分公式說了一件聽起來像魔術的事：如果一個函數在圍籬上及其內部是解析的（複可微的），那麼只要記下它沿著圍籬一圈的所有值，你就能還原出內部任何一點的值——精準無誤，不需要任何額外資訊。邊界已經知道內部的一切。
具體地說：設 f 在包含一條簡單閉圍道 gamma（逆時針繞一圈）及其內部的區域上解析，設 z_0 是 gamma 內部的一點。則 f(z_0) = (1 / (2 pi i)) 乘以 f(z) / (z - z_0) dz 沿 gamma 的積分。要看出 2 pi i 從何而來，取 f(z) = 1，並令 gamma 為圓 |z - z_0| = r。以 z = z_0 + r e^(i theta) 參數化，則 dz = i r e^(i theta) dtheta，被積式 1 / (z - z_0) dz 化為 i dtheta；將 theta 從 0 積到 2 pi 得 2 pi i，再除以 2 pi i 便還原出 1 = f(z_0)。被積式中的 f(z) 只是在 z_0 附近對 f 取樣，因為核 1 / (z - z_0) 把全部權重都集中在那裡。
這一條公式是整個學科的引擎室。由它湧出：解析函數無窮可微、柯西估計、劉維爾定理、最大模原理，以及冪級數展開。它建立在柯西積分定理之上（解析函數沿閉迴路的積分為零）——把該定理用在 f(z) / (z - z_0) 上便得到此公式，而後者唯一的麻煩之處就是 z_0 處的單極點。
取 f(z) = e^z，gamma 為單位圓，則 e^z / (z - 0) dz 沿 gamma 的積分等於 2 pi i 乘以 f(0) = 2 pi i 乘以 1 = 2 pi i，於是這個圍道積分完全由 e^0 = 1 這個值決定。
把 f(z) = e^z、z_0 = 0 代入公式：迴路積分由內部單一個值便讀出。
公式要求 z_0 嚴格落在 gamma 內部；若 z_0 落在圍道上，積分是瑕積分，若 z_0 在外部，被積式在內部處處解析，柯西定理使積分為零——而非 f(z_0)。