導數的廣義柯西公式（generalized Cauchy formula）
如果解析函數的邊界值決定了它在內部的值，那麼它們能否也決定它的斜率、它的曲率、乃至每一個更高階導數？能——而且用的是同一類積分。廣義柯西公式把每一個導數 f^(n)(z_0) 表為 f 沿環繞迴路的圍道積分，而完全不必真的對 f 求導。
敘述：設 f 在簡單閉圍道 gamma 上及其內部解析、z_0 在內部，則對每個 n = 0, 1, 2, …（n = 0 即還原為普通公式），f^(n)(z_0) = (n! / (2 pi i)) 乘以 f(z) / (z - z_0)^(n+1) dz 沿 gamma 的積分。你可以這樣相信它：在積分號下對 z_0 求導柯西公式即可——對核 1 / (z - z_0) 求一次導得 1 / (z - z_0)^2，再求一次得 2 / (z - z_0)^3，經過 n 步便湊出 n! / (z - z_0)^(n+1)。f 的各階導數由同一份邊界資料讀出，只是用核的更高次冪加權。
其推論巨大無比、且沒有實變數的對應物：因為只要 f 僅僅一次複可微，右邊對每個 n 都有意義，所以 f 自動擁有所有階的導數。一個複導數祕密地內含無窮多個。正是這一步把「解析」變成「無窮光滑」，並隨即變成「等於它自己的泰勒級數」。
要求 f''(z_0)，用 f''(z_0) = (2! / (2 pi i)) 乘以 f(z) / (z - z_0)^3 dz 沿 gamma 的積分；取 f(z) = z^2、z_0 = 0，積分挑出 2! 倍的係數，回傳 f''(0) = 2。
第 n 階導數是一個帶核 1 / (z - z_0)^(n+1)、係數 n! 的圍道積分。
此處在積分號下求導是合法的，因為核在遠離 gamma 處對 z_0 光滑且 gamma 有界——但這項理由是一條定理，並非允許你在一般情形下隨意交換極限與積分。