泰勒係數
當一個解析函數寫成它的冪級數 sum a_n (z - z_0)^n 時，那些數 a_0, a_1, a_2, ... 就是泰勒係數。它們是函數在中心 z_0 處的指紋：知道全部係數就能在圓盤上完全還原函數。自然的問題是如何取出某個指定的 a_n，而這有兩個互補的答案——一個來自導數、一個來自積分。
導數公式是 a_n = f^(n)(z_0) / n!。你把級數求導 n 次再在 z_0 求值就得到它：第 n 項以下的每一項消失，第 n 項貢獻 n! a_n，其上的一切也消失，留下 a_n = f^(n)(z_0)/n!。所以 a_0 = f(z_0)、a_1 = f'(z_0)、a_2 = f''(z_0)/2，依此類推。積分公式是等價的、卻往往更有用，它來自柯西積分公式：a_n = (1 / 2 pi i) 乘上繞 z_0 的圓上 f(w) / (w - z_0)^(n+1) dw 的積分。這第二種形式之所以強大，是因為它不要求你直接計算高階導數——即使導數難算，圍道積分仍可被估計。
積分形式有一個立即而著名的推論：柯西估計。若在繞 z_0 半徑 r 的圓上 |f| <= M，則 |a_n| <= M / r^n。界定係數就界定函數、反之亦然，而由這單一個不等式流出劉維爾定理（有界整函數為常數）與最大模原理。所以泰勒係數不只是記帳；它們是控制解析函數的增長、有界性與剛性的定量把手。
對 f(z) = e^z 在 z_0 = 0，每一階導數仍是 e^z、在 0 等於 1，故 a_n = 1/n! 且 e^z = sum z^n / n!。對 f(z) = 1/(1 - z) 在 0，f^(n)(0) = n!，故 a_n = n!/n! = 1，還原 sum z^n。積分形式用單一個圍道積分給出相同的 a_n，無需高階導數。
通往同一係數的兩條路：求導 n 次再除以 n!，或把 f(w)/(w - z_0)^(n+1) 繞圓積分一次。
泰勒係數依賴於中心 z_0；「同一」函數繞著不同的點重新展開時有不同的係數。函數本身是內在的，但它的係數是綁定於你站立位置的局部讀數。