泰勒定理
/ TAY-lor /
複分析中的泰勒定理是本章整個主題的高潮，而且遠比它的實變表親強大。它說：若 f 在以 z_0 為中心的圓盤上解析，則在整個圓盤上 f 等於它的泰勒級數。不是近似、不是要你去界定的某個小餘項——而是完全相等，作為一個如假包換的收斂冪級數。每個解析函數，在其定義域的任一點附近，根本「就是」一個冪級數。
精確地說，設 f 在圓盤 |z - z_0| < R 上解析。則對該圓盤中的每個 z，f(z) = sum_{n>=0} a_n (z - z_0)^n，其係數 a_n = f^(n)(z_0) / n!，且級數在整個圓盤上收斂。證明走柯西積分公式這條路：用繞 z_0 的圓上的積分寫出 f(z)，把柯西核 1/(w - z) 展開成 (z - z_0)/(w - z_0) 的幾何級數，再逐項積分（由一致收斂正當化）。由廣義柯西公式，每一項的積分恰好產生 f^(n)(z_0)/n!。所以係數來自圍道積分，這正是該定理在複數情形成立、而在實數情形不成立的原因。
與數線上的微積分對照，奇蹟便凸顯出來。在那裡，一個函數可以無窮可微卻「不」等於它的泰勒級數——著名的 e^(-1/x^2)（在原點補 0）在原點的各階導數皆為零，故其泰勒級數恆為 0、而函數不為 0。對解析函數不可能出現這種病態：在一個區域上有一個複導數，就迫使函數解析、在每個能放進區域的圓盤上等於它的泰勒級數。這是「全純」與「解析」二詞同義的最深層原因。
f(z) = 1/(1 + z^2) 在 z_0 = 0 解析，最近的奇點在 z = +i 與 z = -i，距離 1。泰勒定理保證有一個在 |z| < 1 上有效的級數；確實 1/(1 + z^2) = 1 - z^2 + z^4 - z^6 + ...。在實線上，儘管 f 處處光滑，這級數卻神秘地只限於 |x| < 1——位於 +-i 的複奇點解釋了這個半徑。
一個在整條實線上光滑的函數仍可能有有限的泰勒半徑，由實軸之外看不見的奇點所決定。
級數只在無奇點的最大圓盤內收斂，而非在 f 的整個定義域上。泰勒定理是一個「局部」陳述：單一個冪級數很少能在解析函數有定義的處處都代表它。