以柯西積分通往冪級數（Cauchy integral as a route to power series）

你如何證明解析函數等於一個冪級數——即在某圓盤上 f(z) = sum a_n (z - z_0)^n？最乾淨的路線從柯西積分公式出發，把它的核展開為等比級數。這是從積分公式通往泰勒定理的橋樑，是「解析（全純）」變成「可展為冪級數」的地方。

分步說明這個想法。固定 z_0 與繞它的圓 gamma；對內部的 z 寫出 f(z) = (1 / (2 pi i)) 乘以 gamma 上 f(w) / (w - z) dw 的積分。拆開核：1 / (w - z) = 1 / ((w - z_0) - (z - z_0)) = (1 / (w - z_0)) 乘以 1 / (1 - (z - z_0)/(w - z_0))。由於在 gamma 上 |z - z_0| 小於 |w - z_0|，第二個因子是收斂的等比級數，即 sum over n of ((z - z_0)/(w - z_0))^n。代入、交換求和與積分（由一致收斂所保證），便掉出 f(z) = sum a_n (z - z_0)^n，其中 a_n = (1 / (2 pi i)) 乘以 gamma 上 f(w) / (w - z_0)^(n+1) dw 的積分——由廣義公式，這恰是 f^(n)(z_0) / n!。

所以柯西積分不只是計算單一個值；展開為等比級數後，它一口氣製造出整個泰勒級數，甚至告訴你係數就是導數值。收斂半徑一路伸展到最近的奇點，因為那是 gamma 所能增大的極限。（本詞預示這個結果；完整的冪級數展開，包括收斂細節，存於冪級數那一個領域。）