複冪級數
冪級數是一個無窮多項式：你不在某個最高次方停下來，而是永遠寫下去。以 z_0 為中心時它是 sum a_n (z - z_0)^n = a_0 + a_1 (z - z_0) + a_2 (z - z_0)^2 + ...，其中係數 a_n 是固定的複數，z 是平面上的變動點。對每個選定的 z，這就是一個普通的複級數，你可以把它的各項加起來——只要它收斂。所以冪級數其實是一份食譜：餵給它一個 z，若級數收斂，就得到一個複數，也就是它所定義函數的值。
它在哪裡收斂？令人驚奇的是，答案永遠是同一種形狀：存在一個介於 0 與無窮之間的數 R，即收斂半徑，使得級數對所有滿足 |z - z_0| < R 的 z（絕對）收斂、對所有滿足 |z - z_0| > R 的 z 發散。收斂的集合是一個以 z_0 為中心的圓盤。這並非顯然——事先並沒有理由收斂區域要是圓的——但它直接由與幾何級數的比較得出。半徑 R 可以是 0（級數只在中心收斂、毫無用處）、一個有限正數，或無窮（級數在整個平面收斂）。
冪級數之所以重要，因為它們是複分析的局部遺傳密碼。本章的核心定理說：每個解析函數，在其定義域中任一點附近，「就是」一個收斂的冪級數——它的泰勒級數。所以冪級數不是一族要另外研究的特殊函數；它們正是每個良好複函數近看時的模樣。又因為冪級數在其圓盤內可逐項微分與積分，操作解析函數在局部上就化約為操作這些無窮多項式。
幾何級數 sum z^n = 1 + z + z^2 + ... 的所有 a_n = 1、中心 z_0 = 0。它恰在 |z| < 1 時收斂，那裡其和有簡單封閉形式 1 / (1 - z)。在單位圓盤外它發散，即使 1 / (1 - z) 在那裡仍是個完全良好的函數——級數只在它的圓盤內捕捉到該函數。
級數 sum z^n 與函數 1/(1 - z) 只在 |z| < 1 上相等；半徑 1 正是中心 0 到 z = 1 處奇點的距離。
冪級數只在它的圓盤內定義函數；同一個函數可能在更遠處仍有定義，但你要到達那些區域得繞著新的中心重新展開（解析延拓），而非靠原來的級數。