收斂圓盤
收斂圓盤是冪級數在平面上實際所住的區域。若冪級數 sum a_n (z - z_0)^n 的收斂半徑為 R，它的收斂圓盤就是所有滿足 |z - z_0| < R 的點 z 所成的開圓盤——一塊以 z_0 為中心的圓形區域。在這個圓盤上級數收斂並定義一個函數；在它嚴格之外的任何地方級數發散。圓盤——而非某種奇形怪狀的團塊——是每個冪級數的自然居所。
圓盤是「開」的這件事很重要——它不包含自己的邊界圓周 |z - z_0| = R。在圓盤內部收斂極佳：不只收斂，而且絕對收斂，並且在你在內部畫出的每個較小閉圓盤上一致收斂。內部的這種一致收斂，正是使這個和成為真正解析函數、並讓你能逐項微分與積分的關鍵。邊界圓周則是模糊的前沿：在那裡級數可能在某些點收斂、在另一些點發散，沒有單一規則涵蓋所有情形。所以我們在開圓盤周圍畫一道堅實的界線，並把邊緣另作處理。
對泰勒級數作幾何想像。你正在展開的函數有某個最近的奇點——一個極點、一個分支點，某個它爆掉或不再解析的地方。收斂圓盤是以 z_0 為中心、能放進去而不碰到那個奇點的最大開圓盤；它的邊界圓周恰好擦過最近的壞點。這就是為什麼收斂圓盤有時被稱為中心周圍最大的解析圓盤：它正是局部冪級數描述在函數的整體地理介入之前所能觸及的範圍。
把 Log(1 + z) = z - z^2/2 + z^3/3 - ... 繞著 z_0 = 0 展開。該函數在 z = -1 處有一個分支點（奇點），距中心 1，故收斂圓盤是開單位圓盤 |z| < 1。此級數對例如 z = 2 毫無用處；要在那裡計算 Log，你得繞著更靠近 2 的中心重新展開。
圓盤恰好延伸到 z = -1 處最近的奇點；邊界圓周通過該點。
別把收斂圓盤（級數收斂之處）與它所代表函數的定義域混為一談。函數 1/(1 - z) 在單位圓盤之外很遠處仍有定義且解析，但那個特定的級數 sum z^n 只在圓盤內收斂。