收斂半徑
/ RAY-dee-us /
每個冪級數 sum a_n (z - z_0)^n 都有一個內建的觸及範圍：一個介於 0 與無窮之間的數 R，告訴你級數從中心 z_0 向外延伸到多遠仍然有意義。在半徑 R 的圓內，級數收斂並給你一個函數；在那個圓外，它發散、什麼也不給。R 稱為收斂半徑，它完全由係數 a_n 決定——不取決於你檢驗哪個 z。
具體地說，R 是使級數對所有滿足 |z - z_0| < R 的 z 收斂的最大半徑。你可以用兩種等價方式由係數計算它。根值法公式（柯西-阿達馬）說 1/R = limsup |a_n|^(1/n)。比值法捷徑在極限存在時成立，說 1/R = lim |a_(n+1)| / |a_n|——故 R = lim |a_n| / |a_(n+1)|。兩者都讀出係數增長或縮小的速度：快速衰減的係數給出大 R；增長的係數給出小 R。會出現三種情況：R = 0 表示級數只在 z_0 收斂（退化、無用的級數）；R = 無窮 表示它在整個平面收斂（函數是整函數，如 e^z）；有限正 R 則表示一個真正的有效圓盤。
半徑帶有深刻的幾何意義，不只是收斂的記帳。對解析函數的泰勒級數，R 等於從中心 z_0 到函數出毛病的最近點——它最近的奇點——的距離。這就是為什麼把 1/(1 + z^2) 繞著 0 展開恰得半徑 1，即使該函數在整條實線上看來完美光滑：奇點落在實軸之外的 z = i 與 z = -i 處，距離為 1，而複級數感受到它們。半徑就是級數悄悄報告出麻煩所在的位置。
對 sum z^n / 2^n，比值 |a_(n+1)| / |a_n| = (1/2^(n+1)) / (1/2^n) = 1/2，故 R = 2。級數在圓盤 |z| < 2 內收斂、在外發散。（它在那裡的和為 1 / (1 - z/2)，唯一的奇點在 z = 2，恰好距中心 2。）
係數以 1/2^n 衰減給出半徑 2，而最近的奇點恰好位於距離 2 處——對泰勒級數而言兩者永遠吻合。
R 對邊界圓周 |z - z_0| = R「上」的行為一無所言：在那裡級數可能處處收斂、處處不收斂、或在某些點收斂。內收斂、外發散這個乾淨的二分法，刻意把邊緣留作未定。