阿貝爾定理
/ AH-bell /
冪級數對自己的邊界圓周不給任何確定的訊息——圓盤內的收斂對邊緣一無所言。但假設你運氣好，級數恰好在某個特定的邊界點收斂。它在那裡的值，會與你從內部趨近時函數的極限相符嗎？阿貝爾定理說：會的，只要你沿著一條合理的路徑趨近。它是一座橋，讓你在級數於邊界配合時，從級數讀出一個邊界值。
精確地說，設冪級數 f(z) = sum a_n z^n 的收斂半徑為 1，且在某個邊界點——為具體起見取 z = 1——數值級數 sum a_n 確實收斂到一個值 S。則當 z 從圓盤內部趨近 1 時 f(z) 趨於 S，只要 z 保持在一個「施托爾茨角」內（一個與圓非切地相交的扇形，而非沿邊界滑進）。簡言之：收斂級數意義下的 f(1) 等於 f 的徑向（或非切）極限。級數值與函數的邊界極限相符。非切的限制確實必要——切向趨近可能破壞結論。
阿貝爾定理使某些美麗的求值變得嚴謹。對數的級數 sum (-1)^(n+1) z^n / n 在圓盤內等於 -Log(1 - z)，而在 z = 1 時級數成為交錯調和級數 1 - 1/2 + 1/3 - ...，它收斂；阿貝爾定理證實其和就是邊界極限，即 log 2。同樣地，萊布尼茲級數 1 - 1/3 + 1/5 - ... = pi/4 是把阿貝爾定理用在反正切級數的 z = 1 處而得正當化。它的逆命題一般為「假」——徑向極限可以存在而級數在邊界發散（一個阿貝爾可和但不收斂的級數），這正是可和性理論與陶伯型定理的起點。
取 f(z) = sum_{n>=1} (-1)^(n+1) z^n / n = -Log(1 - z) 在 |z| < 1。在 z = 1 級數為 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...，它收斂。阿貝爾定理說其和等於 lim_{z -> 1} f(z)，即邊界極限 = log 2。所以交錯調和級數的和為 log 2，由阿貝爾定理使之嚴謹。
阿貝爾定理允許把極限 z -> 1 移入級數內，將一個邊界級數化為乾淨的封閉形式和。
逆命題不成立：函數可以有徑向邊界極限而對應的級數在那裡發散（此時它只是「阿貝爾可和」）。阿貝爾定理只朝一個方向走——級數收斂蘊涵極限，而非反過來。