絕對收斂與條件收斂
想像把無窮多個複數加起來，每一個都是平面上的一支小箭頭。有些箭頭指向這邊，有些指向那邊，可能會部分抵消。你可以要求兩種強度的收斂。強的那種無視方向：把每一項換成它的長度 |z_n|，問這些長度的和是否有限。若 sum |z_n| 收斂，我們說原級數「絕對收斂」。弱的那種保留方向：也許長度加起來是無窮，但靠著抵消，真正的箭頭仍能停在一個有限的總和上。若 sum z_n 收斂而 sum |z_n| 不收斂，我們說它「條件收斂」。
絕對收斂是黃金標準，關鍵事實是：絕對收斂蘊涵普通收斂。原因在於 sum |z_n| 是一個非負實數的級數，因此所有舒適的實變判別法（比較、比值、根值）都適用於它；一旦你掌握了長度，就掌握了總和。更好的是，絕對收斂的級數可以任意重排次序、自由重新分組而不改變其值——它表現得像一個有限和。相較之下，條件收斂十分脆弱：重排一個條件收斂的級數，你可以讓它加到任何你想要的值（黎曼重排定理，分別作用在實部與虛部上）。
為何在複分析中要在意這個？因為整套冪級數機器都靠絕對收斂運轉。在收斂圓內，冪級數 sum a_n (z - z_0)^n 絕對收斂，而這正是讓我們能逐項微分與積分、把兩個這樣的級數相乘、隨意重排的依據。當我們稍後證明解析函數等於它的泰勒級數時，這些操作的安全性正建立在這種絕對（實則一致）收斂之上。
級數 sum i^n / n = i - 1/2 - i/3 + 1/4 + ... 收斂（其實部與虛部都是交錯調和型的級數），但 sum |i^n / n| = sum 1/n 發散。因此此級數條件收斂、而非絕對收斂。相較之下，sum i^n / n^2 絕對收斂，因為 sum 1/n^2 有限。
形狀相同、指數不同：1/n 在臨界邊緣（條件），1/n^2 則穩穩可加（絕對）。
條件收斂是數線上的現象，冪級數從不依賴它：冪級數在其圓盤內部嚴格處處絕對收斂，因此條件收斂的問題只會出現在邊界圓周本身。