複數的數列與級數
複數的數列只是一串有序的複數 z_1, z_2, z_3, ...，其中每個 z_n 都住在複平面上、而非數線上。我們問的問題與實數微積分相同：當 n 變大時，這些點是否會穩定地趨近某個固定的點 z，還是永遠遊蕩？所謂級數，就是把這些點加起來：無窮和 z_1 + z_2 + z_3 + ... 的意思，是它的部分和 s_N = z_1 + ... + z_N 自己構成一個數列，而當這個部分和數列有極限時，我們就說級數「等於」那個極限。
複平面上的收斂之所以簡單，是因為它分裂成兩個普通的實數問題。寫 z_n = x_n + i y_n，則 z_n 收斂到 z = x + i y，恰好等價於 x_n 收斂到 x 「且」 y_n 收斂到 y——實部與虛部各自在數線上收斂。等價地說，z_n 收斂到 z，就是距離 |z_n - z| 縮小到 0。因此你對實數極限的所有認識都可直接搬過來；唯一的新味道是「靠近」現在指的是在平面上作為點靠近，並由模來度量。一個有用的檢驗：若級數 sum z_n 收斂，則其各項 z_n 必趨於 0（第 n 項判別法）。這是必要的，但與數線上一樣，並非充分。
這些觀念是本章後續一切的基礎。冪級數——解析函數的局部 DNA——正是一個各項為複數 a_n (z - z_0)^n 的無窮級數，每固定一個 z 就有一項。問這種級數在哪裡收斂，就是在問：對哪些 z 這個複級數會穩定下來？所以數列與級數絕不是枯燥的前置，而是泰勒定理與解析性所使用的語言。
取 z_n = (1 + i)^n / n!。由於 n! 最終會壓倒任何 |1 + i|^n = (sqrt 2)^n，各項迅速縮小，故 |z_n| -> 0，數列收斂到 0。事實上級數 sum (1 + i)^n / n! 也收斂——它正是 e^z 在 z = 1 + i 的泰勒級數，給出 e^(1+i) = e (cos 1 + i sin 1)。
分母的階乘增長勝過模的幾何增長，故此級數處處收斂——這正是 e^z 為整函數的原因。
級數的各項可以趨於 0 卻仍發散：sum 1/n 發散，儘管 1/n -> 0。第 n 項判別法只能用來證明發散（當各項不趨於 0 時），永遠無法證明收斂。