比值判別法與根值判別法
面對一個級數 sum z_n，你想要一個快速的裁決：它收斂還是不收斂？比值判別法與根值判別法就是兩種這樣的裁決，兩者都靠把級數與幾何級數比較——那是我們完全了解的最簡單級數 sum r^n，它恰在 r < 1 時收斂。訣竅在於度量各項縮小的速度。若深入級數之後，每一項大約是前一項的 r 倍且 r < 1，級數就表現得像一個收斂的幾何級數，從而絕對收斂。
比值判別法（達朗貝爾）看相鄰長度的比。計算 L = lim |z_(n+1)| / |z_n|。若 L < 1 級數絕對收斂；若 L > 1 發散；若 L = 1 此判別法沉默，什麼也說不出。根值判別法（柯西）則對第 n 個長度取第 n 次方根：計算 L = lim |z_n|^(1/n)，更謹慎地說是它的上極限。同樣地，L < 1 給絕對收斂，L > 1 給發散，L = 1 無法判定。舉一個算例，對 sum z^n / n!，比值為 |z^(n+1)/(n+1)!| / |z^n/n!| = |z| / (n+1)，對每個 z 都趨於 0 < 1，故 e^z 的級數處處收斂。
這兩個判別法正是驅動收斂半徑的引擎。把根值法用在冪級數 sum a_n (z - z_0)^n 上：第 n 項的長度為 |a_n| |z - z_0|^n，其第 n 次方根為 |a_n|^(1/n) |z - z_0|。它恰在 |z - z_0| < 1 / limsup |a_n|^(1/n) 時小於 1——這正是收斂半徑 R 的柯西-阿達馬公式。所以根值法不僅檢驗一個固定的級數；把 z 當變數來用，它就刻畫出級數所住的整個圓盤。根值法是兩者中較強的（比值法可用時它必可用，比值法失效時它有時仍可用），但比值法往往較易計算。
對 sum n^2 z^n，長度之比為 ((n+1)^2 / n^2) |z| -> |z|。故級數在 |z| < 1 時絕對收斂、在 |z| > 1 時發散：收斂半徑為 1。根值法給出相同結論，因為 (n^2)^(1/n) -> 1，得到的極限同為 |z|。
兩種判別法都把複雜的冪級數化成一個數，此處 L = |z|，而臨界值 L = 1 確定了收斂半徑。
當 L = 1 時兩種判別法都完全失效、什麼都不說——而這正是冪級數邊界圓周上的情形，那裡需要更精細的工具（阿貝爾定理、直接估計）。