柯西估計（Cauchy estimates）
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一旦你能把每個導數寫成圍道積分，你也就能估出它的大小，因為一個小東西沿短路徑的積分是小的。柯西估計把導數的積分公式變成一條乾淨的不等式：只要你知道 f 在一個圓上有多大，你就知道它的各階導數在圓心處最多能有多大。
敘述：設 f 在以 z_0 為心、半徑 R 的圓上及其內部解析，且 |f(z)| 在該圓上不超過 M。則對每個 n，|f^(n)(z_0)| 不超過 n! M / R^n。證明只是把 ML 不等式（長度乘以最大值）用在 f^(n)(z_0) = (n! / (2 pi i)) 乘以該圓上 f(z) / (z - z_0)^(n+1) dz 的積分上：圓長 2 pi R，核大小 1 / R^(n+1)，|f| 不超過 M，故積分的模不超過 (n! / (2 pi)) 乘以 (2 pi R) 乘以 M / R^(n+1) = n! M / R^n。整個論證就這麼多。
這些界限是若干重頭結果背後的槓桿。劉維爾定理就是 n = 1 的情形：若有界整函數處處 |f| 不超過 M，你可以把 R 取得任意大，而 |f'(z_0)| 不超過 M / R 便逼出 f' = 0，所以 f 是常數。這些估計也控制泰勒係數能增長多快，這正是證明冪級數收斂所需。讓 R 增大來收縮導數界限，是值得記住的反覆出現的把戲。
若 f 在圓 |z| = 2 上 |f| 不超過 5 且在內部解析，則 |f'(0)| 不超過 1! 乘以 5 / 2 = 2.5，而 |f''(0)| 不超過 2! 乘以 5 / 2^2 = 2.5。
由 |f| 在環繞圓上的最大值來界定圓心處的各階導數。
界限用的是 |f| 在圓上的最大值，而非圓心處的值；z_0 處的小值什麼也說明不了——是周圍的值在約束各階導數。