柯西積分公式及其推論
劉維爾定理（Liouville's theorem）
/ lyoo-VEEL /
整函數是在整個複平面上都解析的函數——處處沒有奇點。劉維爾定理說這樣的函數無處可躲：若它同時有界（其模在處處都保持低於某個固定數），則它必為常數。一個定義在整個平面上的解析函數，根本無法既保持微小又不平坦。
證明是第一階導數柯西估計的一行推論。取任意一點 z_0 與任意半徑 R。估計給出 |f'(z_0)| 不超過 M / R，其中 M 是 |f| 的整體界限。由於 f 是整函數，R 可取得任意大，故 M / R 可壓低於任何正數；因此 f'(z_0) = 0。由於 z_0 是任意的，f' 恆為零，而在連通區域上導數為零的函數是常數。有界加上整函數性，便逼出處處斜率為零。
這是解析剛性最戲劇化的展現，而且很有威力。它立即推出代數基本定理。它也解釋了為何如此多有趣的整函數，如 e^z、sin z 與多項式，都必然無界——根本找不到非常數的有界整函數。一個有用的更強表親：若整函數的增長不快於 d 次多項式，則它本身必為次數至多 d 的多項式。
函數 sin z 是整函數但無界——對純虛數 z = i y，sin(i y) = i sinh(y) 隨 y 增大而爆炸——這恰如劉維爾定理所要求，因為一個有界的整函數 sin 將不得不為常數。
為何複數的正弦不像實正弦那樣能保持有界。
在平面某一部分上有界並不足夠；定理需要函數是整函數（處處解析）且處處有界——僅在某圓盤上有界的函數當然可以是非常數的。
又称
另见