指數函數是整函數且永不為零（the exponential is entire and never zero）

關於 e^z 有兩個事實被用得太頻繁，值得獨立成條：e^z 在整個平面上都有定義且可微，而且它永遠不等於零。兩者都只需看懂一次，之後便成為反射動作。

整函數的意思是在整個平面上全純、處處沒有奇點。指數函數符合：由 e^z = e^x cos y + i e^x sin y，其實部與虛部具有連續的偏導數並處處滿足柯西-黎曼方程，因此 e^z 處處可微，而直接計算給出 e^z 的導數又是 e^z。永不為零更快：|e^z| = e^x，而對每個實 x，e^x 都是正實數，所以 |e^z| > 0 恆成立。模為正的數不可能是零。因此 e^z 唯獨漏掉值 0，而對其他每一個複數都命中無窮多次（每條高度 2 pi 的水平帶各一次）。

這兩個事實確有實際用途。由於 e^z 是整函數且無零點，像 1 / e^z = e^(-z) 這樣的式子也是整函數，e^z 可以安心放在分母。又由於 e^z 從不取到 0，對數只需定義在去掉原點的穿孔平面上；你永遠不必對零取對數。一個非常數的整函數竟能完全漏掉某個值是很特別的；後面的皮卡定理會說它至多只能漏掉一個值，而 0 恰恰就是 e^z 所漏掉的那個值。