解析函數（holomorphic function）

解析函數是指不僅在某一點、而是在某個開集的「每一點」都複可微的函數。這一微小的升級——從「在此可微」到「在開區域上可微」——是複分析中最重要的單一定義，因為這門學科裡所有美好的結果都由它推導而來。

具體地說，f 在開集 U 上解析，是指對 U 中每個 z_0，差商 (f(z) - f(z_0))/(z - z_0) 都有極限 f'(z_0)。等價地，寫 f = u + i v 且偏導數連續，則柯西-黎曼方程 u_x = v_y、u_y = -v_x 在整個 U 上成立。「在某點解析」是「在該點周圍某個開圓盤上解析」的簡稱——絕非僅在該點，因為開性至關重要。

它之所以重要，在於那串免費的後果。解析函數自動無窮可微；在每點的鄰域內等於一個收斂的冪級數；在導數非零處保角；其實部與虛部皆為調和函數；而整體上它剛性得驚人（只要知道它在一小段弧上的值，便決定它在整個連通區域上的值）。沒有任何實可微函數隱藏如此多結構——這份剛性是貫穿全科的主旋律。