代數基本定理（fundamental theorem of algebra）

每個非常數的複係數多項式至少有一個複數根。等價地，n 次多項式在複數中恰有 n 個根（按重數計）。這是複數「代數封閉」的保證——一旦你允許了 i，就再也不需要發明新的數來解多項式。這正是複平面成為多項式代數的自然家園的原因。

複分析透過劉維爾定理給出一個極短的證明。為導出矛盾，假設某個非常數多項式 p(z) 沒有根。那麼 1 / p(z) 將在整個平面上解析（分母永不為零）。當 |z| 變大時，|p(z)| 因首項主導而無界增長，故 1 / p(z) 趨於 0；再結合連續性便使 1 / p(z) 處處有界。有界整函數依劉維爾定理為常數，於是 p 也將為常數——與我們的假設矛盾。因此 p 必有一根。把它分解出來並重複，便得到全部 n 個根。

這個名字稍有歷史成分：定理其實與代數的基礎無甚關係，且所有已知證明都倚賴某種分析或拓撲（連續性、完備性或卷繞數）——並無純代數的證明。複分析所增添的是優雅：整個結果由劉維爾定理所封裝的剛性中掉出。它是這門學科的分析面如何解決一個純代數問題的展示品。