魯歇定理（Rouché's theorem）
/ roo-SHAY /
這裡有一個妙極了的實用想法：若你想數一個複雜函數的根，就在邊界上把它換成一個壓過它的較簡單同伴，那麼兩者在內部的根數相同。魯歇定理把這件事嚴格化。只要沿整條圍道有一部分嚴格大於另一部分，那個小的部分就無法在內部生出或消滅任何根——它只能把根稍微推來推去。
敘述：設 f 與 g 在簡單閉圍道 gamma 上及其內部解析，並設 gamma 上每一點 z 都有 |g(z)| 嚴格小於 |f(z)|。則 f 與 f + g 在 gamma 內的零點數相同（按重數計）。理由經由輻角原理：當 z 繞 gamma 一圈，點 f(z) + g(z) 始終落在離 f(z) 不超過 |g| < |f| 之處，故它永遠到不了 0（它離 f 永遠沒有 f 離原點那麼遠），且它繞 0 的圈數恰與 f 相同。卷繞數相等就意味零點數相等。直觀地說，你正牽著一條狗（f + g）散步，牽繩比你到路燈（原點）的距離還短：狗繞路燈的圈數與你繞的相同。
這是定位零點的日常工具。要數一個多項式在圓盤內的根，把它拆成一個主導項 f 與一個餘項 g，在圓上檢查 |g| < |f|，再從你早已知道其根的 f 讀出答案。它給出代數基本定理最俐落的證明（在大圓上最高次項壓過其餘所有項），而赫爾維茨定理由它經一個取極限的論證得出。你必須誠實驗證的一件事就是整條圍道上的嚴格不等號——若 |g| 在 gamma 上某處等於 |f|，f + g 的像可能碰到 0，結論便可能失效。
z^4 + 5z + 1 在 |z| = 2 內有幾個零點？在該圓上 |z^4| = 16 壓過至多為 11 的 |5z + 1|，故取 f = z^4、g = 5z + 1；因圓上 |g| < |f|，f + g 在內部的零點數與 z^4 相同，為 4。四個根全落在半徑 2 的圓盤內。
主導項 f = z^4 控制計數；較小的 g 無法改變內部零點數。
不等號必須嚴格且在圍道上處處成立，而非僅某處。若 |g| 在 gamma 上可能等於 |f|，用對稱形式（以 |f - g| < |f| + |g|）來引用較為穩妥。