赫爾維茨定理（Hurwitz's theorem）
/ HOOR-vits /
當一列解析函數安定下來收斂到一個極限函數，它們的零點會怎樣？這些逼近函數的根與極限函數的根有沒有關係？赫爾維茨定理給了一個令人安心的答案：零點在取極限時被保留。只要收斂在緊集上一致，根就無法在取極限時憑空冒出、或無端消失。
敘述：設解析函數 f_n 在區域的每個緊子集上一致收斂到 f（局部一致收斂），且 f 不恆為零。則對任何使 f 有零點的點 z_0，z_0 的每個鄰域最終都含有 f_n 的零點：逼近函數長出收斂到極限零點的零點。更鋒利地說，繞一個 f 在其上無零點的小圓，當 n 夠大時 f_n 在圓內的零點數等於 f 在圓內的零點數。證明是魯歇定理的乾淨應用：在繞 z_0 的小圓上，極限 f 與 0 保持一段距離，而一致收斂使得當 n 夠大時該處 |f_n - f| < |f|，故 f_n 與 f 在該圓內的零點數相同。
一個引人注目的推論關於單射性：單射（一對一）解析函數的局部一致極限，要嘛是單射、要嘛是常數。這正是在幾何函數論中跑緊性論證所需的那種穩定性——例如在黎曼映射定理的證明中抽出一個極限映射、並確知它仍是單葉的。誠實的限定：假設是有牙齒的。收斂必須是局部一致（不只是逐點），且極限不能是零函數——對常數零的極限，關於孤立零點的結論毫無意義。而定理講的是零點往哪裡去，並不保證 f_n 在同一個確切點分享同一個確切重數。
e^z = sum z^n / n! 的部分和在緊集上一致收斂到 e^z。由於 e^z 從不為零，赫爾維茨定理說：在任何固定圓盤上，部分和多項式最終在那裡也沒有零點——它們的根必逃向無窮遠。
逼近函數的零點追隨極限的零點；極限無零點時，根便逃向無窮遠。
它要求局部一致收斂且極限不恆為零；單純逐點收斂並不夠，而關於單射極限的推論確實允許常數函數作為另一種可能。