黎曼映射定理（Riemann mapping theorem）

黎曼映射定理是共形幾何的皇冠寶石。它說：眾多形狀各異的區域，從保角的角度看，全都是「同一個」區域。取任何單連通定義域——沒有洞的區域——只要它不是整個平面：一個正方形、一條心形曲線的內部、一條無窮長條、一個割縫平面，任何拓撲上像圓盤的東西。本定理保證有單一的共形（保角、全純、一對一）映射把它完美地映成標準單位圓盤。一種形狀，一個模型，不論原本的邊界多麼鋸齒或奇怪。

嚴格地說：若 D 是複平面的單連通開子集且 D 不是整個 C，則存在一個雙全純映射 f：D -> 開單位圓盤（全純、雙射、逆映射也全純）。為唯一地定下它，你加上一個歸一化：選一個基點 z_0 屬於 D，要求 f(z_0) = 0 且 f'(z_0) > 0（一個正實數）；這三個實條件恰好決定 f。標準證明是本章緊性機器的勝利。你考慮所有把 z_0 送到 0、由 D 映入圓盤的單射全純映射所構成的族；此族非空且局部有界，故由蒙泰爾為正規。接著你解極值問題：在族上最大化 |f'(z_0)|；一個極大化序列有局部一致收斂的子序列（蒙泰爾），其極限全純（魏爾斯特拉斯）且仍為單射（赫爾維茨），而一個施瓦茨引理論證表明該極大者必定「映滿」整個圓盤——這份滿射性正是證明的核心。

其後果是席捲性的：每個單連通定義域（除 C 外）都繼承圓盤豐富的結構——它的自同構、它的雙曲度量、它的邊界理論——而任何提在複雜區域上的分析問題都可移植到圓盤上於該處求解。值得在意的誠實提醒。第一，本定理是「存在性」敘述；證明是非構造性的，不給出 f 的公式（當可得時，明確的映射來自施瓦茨-克里斯托費爾等特殊工具）。第二，排除 C 是不可避免的：由劉維爾定理，不存在有界的非常數整函數，故整個平面與圓盤「不」共形等價。第三，「單連通」是本質的——環域有一個洞，共形上不是圓盤，而事實上兩個環域唯有其半徑比相符時才等價。