黎曼映射的唯一性（uniqueness of the Riemann map）

黎曼映射定理說映到圓盤的共形映射存在，卻沒說只有一個——事實上有無窮多個。自然的問題是還剩多少自由，而乾淨的答案是：恰好是圓盤自身對稱的自由，不多也不少。一旦你決定某個內部點映到哪裡、以及在那裡映射朝哪個方向轉，映射就被完全鎖定。所以做了一個合理的歸一化之後，「那個」黎曼映射就是唯一的。

兩個精確的敘述捕捉這點。(1) 差一個對稱：若 f 與 g 都是把單連通定義域 D 映成單位圓盤的共形映射，則 g = phi ∘ f，其中 phi 是圓盤的某個自同構；這些自同構構成圓盤映到自身的莫比烏斯映射所成的三實參數群。故任兩個黎曼映射只差一個與圓盤自同構的複合。(2) 歸一化的唯一性：若你固定基點 z_0 並要求 f(z_0) = 0 且 f'(z_0) > 0（導數為正實數，即在 z_0 處無旋轉），則 f 唯一。(2) 的證明是一行施瓦茨引理論證：若 f 與 g 都滿足該歸一化，則 g ∘ f^(-1) 是圓盤的自同構，固定 0 且在那裡導數為正，而施瓦茨引理迫使這樣的映射為恆等映射，故 g = f。

為何重要：這讓我們得以談論「那個」黎曼映射，並把它當作任何單連通定義域上的標準座標系。它也解釋了存在性證明中的記帳——歸一化 f'(z_0) > 0 恰好移除剩餘的旋轉模糊，使極值映射唯一。誠實的提醒：三個實條件（f(z_0) = 0 佔兩個，f'(z_0) 的相位佔一個）與圓盤自同構群的三個實維度相符，這就是它們恰好定下映射的原因——條件較少會留下自由，較多則會不相容。此唯一性是關於一個固定定義域的敘述；它並不說不同的定義域給出「相同」的映射。