莫比烏斯變換（Mobius transformation）
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在所有重塑複平面的方式中，有一個小家族以最乾淨、最有用而脫穎而出——它所用的不過是加法、乘法與一次除法。莫比烏斯變換是形如 w = (a z + b)/(c z + d) 的映射，其中 a, b, c, d 是固定的複數，選取時使得 a*d - b*c 不為零。最後這個條件只是排除公式退化為常數的情形。它們是平面上最溫和的非平凡映射：共形、可逆，且具有極為剛性的優美結構。
把公式讀成一道配方。取 z，算分子 a z + b，算分母 c z + d，相除。當 c = 0 時它只是仿射映射 w = (a/d) z + (b/d)——一次旋轉、縮放與平移。當 c 不為零時，正是除法賦予莫比烏斯映射力量：某一點（z = -d/c）被送到無窮遠，而 z = 無窮遠則回到有限點 a/c。為了使這一切無縫接合，我們在擴充複平面，即黎曼球面上工作，那裡無窮遠是一個普通點。在球面上莫比烏斯映射是毫無例外的完美雙射。其導數算出為 (a*d - b*c)/(c z + d)^2，恆不為零——印證它在所有有限之處都是共形的。
莫比烏斯變換是共形映射的主力。它們把「圓與直線」送到「圓與直線」，由它們把任意三點送往何處便可完全決定，且在合成下構成一個群。它們給出標準模型區域之間的明確字典——上半平面、單位圓盤與去掉一點的平面。有一點要分清：「莫比烏斯變換」（平面的映射）與「莫比烏斯帶」（一個單側曲面）是截然不同的概念；它們只共用 August Ferdinand Mobius 的名字。
映射 w = 1/z 是一個莫比烏斯變換，其 a = 0, b = 1, c = 1, d = 0（故 a*d - b*c = -1，不為零）。它把 0 送到無窮遠、無窮遠送到 0、1 送到 1；它是自身的反函數。幾何上它是反演（結合一次抵消的共軛）——並把鉛直線變成通過原點的圓。
w = 1/z 是最簡單的真正非仿射莫比烏斯映射；它互換 0 與無窮遠。
若一組係數是另一組的非零純量倍，兩組係數四元組給出相同的映射——(a,b,c,d) 與 (ta,tb,tc,td) 定義完全相同的變換。因此係數只在差一個共同因子的意義下才有意義。