黎曼球面（Riemann sphere）

當你把複平面想成一張平坦的紙時，無窮遠點感覺像個彆扭的外掛——無窮「在那外頭」，無處安身。黎曼球面正是把這修補得極為漂亮的圖像：把整個擴充複平面裹到一個尋常球面的表面上，使無窮遠點成為一個再普通不過的點——北極——不比任何其他點特殊。頓時，那個一邊倒的「平面加一個額外點」化為一個光滑、對稱、有限的曲面。

這個包裹靠球極投影完成。放一個與平面相切的球，其南極位於原點。要找出平面上的點 z 落在何處，畫一條從北極穿過 z 的直線；它恰好在球面上的另一點刺穿，那便是 z 的像。原點映到南極，單位圓映到赤道，遠在無窮附近的點聚集在北極周圍——而北極本身正是無窮遠點。擴充平面的每一個點都恰對應球面上的一個點，反之亦然。

這不只是裝飾。在球面上，無窮只是另一個點，因此定理能平等地對待它：研究一個函數「在無窮處」，只要去研究它在北極處即可。平面上的直線變成過北極的圓；平面上所有直線與圓構成的族，就成了球面上所有圓構成的族；而莫比烏斯變換則化為球面感覺剛硬的旋轉與運動。黎曼球面是最自然地講述複變函數整體理論的幾何舞台。