球極投影（stereographic projection）

球極投影是把球面攤平到平面上（或反過來，把平面裹到球面上）的精確配方。想像一個球停在一張平坦的紙上，而正上方——北極——有一個單一光源。球面上每一點投在紙上的影子，就是它的球極像。具體地說，要把球面上的點 P（北極除外）投影到平面上，畫一條從北極穿過 P 的直線，看它在何處與平面相交；那個交點就是 P 的影子。

它在平面與「去掉北極的球面」之間，建立起完美的一對一對應。靠近南極的點落在原點附近；靠近赤道的點落在單位圓附近；而向北極悄悄攀升的點則奔向無窮。最後這件事正是為何北極是無窮遠點的自然歸宿：它是唯一沒有有限影子的球面點，所以我們把它指派給無窮，從而補全這個對應。

球極投影有一個著名而有用的性質：它是共形的——它保持角度。球面上以某角相交的兩條曲線，投影到平面上仍以完全相同的角相交。（它「不」保持面積或距離——北極附近的區域會被劇烈拉伸，這正是為何這種投影在兩極附近把世界地圖扭曲得如此誇張。）它保角的本性，正是它與共形映射如此契合的原因；它另一顆寶石是把球面上的每一個圓送成平面上的一個圓或直線——直接呼應那個直線與圓合一的族。