保圓性質

在平面上畫任何一個圓，或任何一條直線，讓它通過一個莫比烏斯變換。出來的仍是一個圓或一條直線。這是莫比烏斯映射最令人難忘的單一作為：它們把「直線與圓」這一整族整體保留下來。一個圓可能變成另一個圓，也可能拉直成一條線；一條線可能捲成一個圓。但你絕不會得到橢圓、拋物線、八字形或更花俏的東西。所有直線與圓所成的類在這些映射下密封不漏。

看清此事的乾淨方式，是把直線當成「一個恰好通過無窮遠點的圓」。在黎曼球面上，直線與圓確實是同一種東西——兩者都是球面上的圓（直線是球面上通過北極的圓在球極投影下的像）。於是敘述變得單純：莫比烏斯變換把球面上的圓映到球面上的圓。證明把映射分解成積木——平移、旋轉、縮放與反演 w = 1/z——再逐一檢驗。平移、旋轉與縮放顯然保留直線與圓。唯一需要費工的是反演，而一段簡短的計算（一般直線或圓的方程為 A(x^2 + y^2) + B x + C y + D = 0，而 1/z 互換 A 與 D 的角色）說明反演同樣保留該族。把各片合成，整個映射便繼承此性質。

這正是為何莫比烏斯映射是在圓盤、半平面與切割區域之間移植問題的正確工具：它們的邊界由圓弧與線段構成，而那些正是會存活下來的東西。一個值得言明的實用警告：「圓變圓」並不表示「圓心變圓心」。莫比烏斯映射嚴重扭曲哪一點是圓心，也不保留半徑或距離；被保留的只有「直線或圓」這個形狀類，而非其中的度量資料。