圓盤的自同構

取單位圓盤，問：把它共形地映到自身的所有方式是什麼？也就是說，哪些解析映射把圓盤雙射地送回圓盤，且具有解析的反函數？這樣的自映射稱為圓盤的自同構，而美妙的驚喜是：它們的數量恰好多到有趣，卻又少到能完整寫下。它們構成一個群（合成兩個得第三個；每個都有反函數），而這個群有乾淨、明確的描述。

單位圓盤的每一個自同構都形如 f(z) = e^(i theta) * (z - a)/(1 - a-bar * z)，其中 a 是圓盤內任一點（|a| < 1），theta 是任一實角。讀這兩塊：因子 (z - a)/(1 - a-bar * z)，一個布拉施克型因子，是把選定的內點 a 滑到中心 0、同時讓圓盤映到自身的基本動作；因子 e^(i theta) 再把圓盤繞中心旋轉。因此圓盤的每個對稱都是「把某點移到中心，再旋轉」。你可驗證 (1 - a-bar * z) 在圓盤內永不為零，且 |f(z)| = 1 當且僅當 |z| = 1，故邊界圓映到邊界圓、內部映到內部。

這些映射是圓盤最深刻意義下的對稱：它們恰是圓盤自然雙曲幾何的剛體運動，即龐加萊度量的保距映射。數一數參數，共有三個實自由度（點 a 兩個、角 theta 一個）——與莫比烏斯映射同數，這並非巧合，因為圓盤自同構正是恰好保留圓盤的那些莫比烏斯變換。一個值得破除的常見誤解：唯一固定中心 0 的自同構是純旋轉 f(z) = e^(i theta) z（此事直接由施瓦茨引理推出）——其餘每一個自同構都必然把中心移到別處。