布拉施克因子（Blaschke factor）
/ BLAHSH-kuh /
布拉施克因子是圓盤最簡單的非平凡自同構：一個量身打造的映射，它的全部工作就是把圓盤內某個選定的點送到中心，同時讓圓盤原地不動。若你想把圓盤「重新置中」，使某個偏離中心的點 a 成為新的原點——而不離開圓盤、不彎折任何角度——對應 a 的布拉施克因子就是辦到這件事的工具。
對於滿足 |a| < 1 的點 a，布拉施克因子為 B_a(z) = (z - a) / (1 - a-bar z)。注意它在關鍵點的作為：B_a(a) = 0（選定的點被送到中心），且 B_a(0) = -a。其奧妙在於它把圓盤映滿圓盤：在邊界圓 |z| = 1 上可驗證 |B_a(z)| = 1（那裡分子與分母的模相等，因為 1 - a-bar z 在差一個單位因子下是 z - a 的共軛反射），故單位圓映到單位圓，再由連續性加最大模原理把內部落入內部。它唯一的零點是 z = a 處的單零點，唯一的極點落在 z = 1/a-bar，安穩地在圓盤之外。在差一個旋轉 e^(i theta) 下，布拉施克因子是所有圓盤自同構的構件。
布拉施克因子是圓盤幾何的原子。把若干個相乘——有限多個零點各配一個——便得到一個有限布拉施克乘積，一個恰以那些點為零點、在邊界上模為 1 的圓盤解析自映射。推到無窮多個零點（須滿足布拉施克條件，即零點不太快地擁向邊界），便得到有界函數理論與哈代空間中核心的無窮布拉施克乘積。一個要先打消的常見誤解：布拉施克因子並不是圓盤的平移——圓盤沒有解析的平移，因為唯一可用的剛體運動就是這些莫比烏斯映射。它把 a 送到 0，但以一種確定且非均勻的方式扭曲其餘每一點。
取 a = 1/2，B(z) = (z - 1/2)/(1 - z/2)。則 B(1/2) = 0 如設計所願，且 B(0) = -1/2。在邊界上，B(1) = (1/2)/(1/2) = 1，B(-1) = (-3/2)/(3/2) = -1，B(i) = (i - 1/2)/(1 - i/2)：計算 |i - 1/2| = sqrt(5)/2 與 |1 - i/2| = sqrt(5)/2 得 |B(i)| = 1——恰好落在單位圓上，必然如此。
B_a 把 a 送到 0，並把邊界圓釘在 |z| = 1 上。
留意共軛：分母裡是 a-bar，不是 a。誤寫成 (z - a)/(1 - a z) 會給出一個除非 a 為實數、否則不保持單位圓盤的映射。正是這個共軛保證了邊界上 |B_a(z)| = 1。