布拉施克乘積
/ BLAHSH-kuh /
魏爾斯特拉斯乘積在整個平面上建構具指定零點的整函數，但它們自由增長、沒有內建的大小上限。在單位圓盤上有一種為「有界」全純函數量身打造的更精緻的建構：布拉施克乘積。它製造圓盤上具指定零點的全純函數，而其模卻始終被 1 所界——這是魏爾斯特拉斯式乘積做不到的壯舉，那種乘積會爆掉。
其積木是圓盤內一點 a 處零點的布拉施克因子：B_a(z) = (|a|/a) 乘上 (a - z)/(1 - (a-bar) z)。這個莫比烏斯型因子恰在 z = a 處消失、在邊界圓 |z| = 1 上模恰為 1，而單位模常數 |a|/a 是選來使 B_a(0) > 0 的相位。布拉施克乘積是這類因子之積，每個指定零點 a_n 一個（原點 m 階零點則加入因子 z^m）：B(z) = z^m 乘上 product over n of (|a_n|/a_n)(a_n - z)/(1 - (a_n-bar) z)。每個因子在圓盤上被 1 所界，故乘積在收斂時是一個恰具零點 a_n 的有界全純函數。
布拉施克乘積是圓盤上多項式或魏爾斯特拉斯因子的類比，是有界解析函數的典範零因子。核心定理（哈代空間與內凡林納類中的因式分解）說，圓盤上任何有界全純函數都可分解為一個攜帶其零點的布拉施克乘積、乘上一個不消失的部分。它們無處不在：用以描述圓盤自同構（單一布拉施克因子「就是」一個圓盤自同構）、在插值問題中、在算子理論中。但與魏爾斯特拉斯乘積不同的是，布拉施克乘積只在零點滿足一個明確條件時收斂——布拉施克條件。
取相位為 1、a = 1/2 的單一布拉施克因子 B_a(z) = (a - z)/(1 - (a-bar) z) 是 z |-> (1/2 - z)/(1 - z/2)。它在 z = 1/2 處消失、把單位圓盤雙射地映到自身，且恰在 |z| = 1 上有 |B_a(z)| = 1。這同時是一個單零點的布拉施克乘積與圓盤的一個自同構。
一個布拉施克因子：在圓盤內的 a 處消失、邊界上模為 1，是一個圓盤自同構。
有限的布拉施克乘積總是收斂且被 1 所界；無窮的布拉施克乘積只在零點滿足布拉施克條件時收斂到一個非零的有界函數。若不滿足，乘積塌縮為常數 0——不存在具那些零點的有界全純函數。