哈代空間（Hardy space）
/ HAR-dee /
哈代空間是圓盤（或上半平面）上一類精心挑選的解析函數的集合，它們在往邊界移動時——以平均的意義——保持「大小有界」。這想法回答一個自然的問題：圓盤內部哪些解析函數在圓周上真的有合理的邊界值，而內部函數與其邊界跡又如何相連？哈代空間正是圓盤內部與其邊界圓平起平坐相會的家。
具體地，對介於 1 與無窮之間的數 p，哈代空間 H^p 是圓盤上使積分均值保持有界的解析函數 f 的集合：對 r < 1 取（|f(r e^(i theta))|^p 對 theta 的平均）的上確界為有限。使這有用的卓越事實是定理、而非定義。第一，每個 H^p 中的 f 對幾乎所有 theta 都有徑向邊界極限 f(e^(i theta))，所以每個內部函數悄悄地帶著一個邊界函數。第二，你能往回走：內部函數可由其邊界值經柯西或帕松積分還原。第三，圓周上一個函數恰在其傅立葉級數沒有負頻項時，才是某個 H^2 函數的邊界跡——H^2 是圓周上所有平方可積函數的「解析半邊」，而投影到它上面是由希爾伯特轉換建構的。
哈代空間是複分析與調和分析及算子理論融合之處，並在純數學與應用數學各方面有回報：H^p 函數分解為布拉施克乘積乘一個外部因子，支撐了信號處理中最小相位系統與全通濾波器的概念；半平面的 H^2 恰恰是穩定因果系統之轉移函數的空間，把理論直接繫回控制工程；而邊界值觀點使哈代空間成為希爾伯特轉換與里斯投影的自然場景。關於範圍的一個誠實註記：H^p 空間在 1 <= p <= 無窮時表現極佳，但邊界情形（p = 1 與 p = 無窮）確實比希爾伯特空間情形 p = 2 更為微妙，後者擁有最乾淨的幾何。
圓盤上一個有界的解析函數，例如 f(z) = 1 / (2 - z)，落在每個 H^p 中（它甚至在 H^infinity 中，因為 |f| 在圓盤上保持低於 1）。單一布拉施克因子 b(z) = (z - a) / (1 - a-bar z)（|a| < 1）也落在 H^infinity 中；其邊界跡在圓周上的模恰為 1，是全通濾波器的原型。
有界解析函數落在每個 H^p 中；布拉施克因子是全通的原型。
屬於 H^p 只控制平均的邊界增長，而非逐點有界；一個 H^2 函數可以無界，卻仍幾乎處處有有限的邊界極限——這個結論遠強於看似溫和的假設所暗示者。