施瓦茨-皮克引理（Schwarz-Pick lemma）
/ shvarts-pik /
樸素的施瓦茨引理有個瑕疵：它只談論固定圓盤中心的映射。皮克的洞見是去掉這根拐杖。若你不用普通的尺、而用一把特殊的、會扭曲距離的尺——雙曲尺——來量圓盤內的距離，那麼每一個圓盤的解析自映射都會縮短或保持距離，無論它把中心送到何處。透過正確的度量來看，圓盤是一個解析映射永遠無法把點推遠的地方。
以下是精確敘述，有兩種等價形式。設 f 是從單位圓盤到自身的解析映射。微分（無窮小）形式說：對每個 z，|f'(z)| / (1 - |f(z)|^2) <= 1 / (1 - |z|^2)。積分（有限）形式說：對任意兩點 z_1, z_2，從 f(z_1) 到 f(z_2) 的雙曲距離不超過從 z_1 到 z_2 的雙曲距離。若某一對點（或微分形式中某一點）取等號，則 f 必為圓盤的共形自同構——一個剛性地搬動整個圓盤的莫比烏斯映射。把 z_1 = 0、f(0) = 0 代入便還原出原始的施瓦茨引理。證明正是把原始施瓦茨引理夾在兩個圓盤自同構之間：先複合以把 z_1 送到 0，後複合以把 f(z_1) 送到 0，中間套用施瓦茨，再平移回去。
這是從剛性通往幾何的門戶。出現的量 1/(1 - |z|^2) 是龐加萊（雙曲）度量的密度，而本引理正是說：解析自映射對該度量是距離不增的——它們是雙曲平面的 1-Lipschitz 收縮。一個值得誠實指出的微妙之處：「距離不增」並不表示 f 處處都是嚴格意義下的收縮；自同構恰好保持雙曲距離不變，只有真正非自同構者才嚴格縮短。所以引理是緊的，而它所容許的等距映射恰恰就是那些自同構。
設 f(z) = (z + 1/2) / (1 + z/2)——一個把 0 送到 1/2 的布拉施克因子。它是自同構，故施瓦茨-皮克取等號成立：它把每一對點搬到雙曲距離完全相同的新一對點，儘管在普通的歐氏意義下，它在一側把點擠向邊界、在另一側把點攤開。
自同構精確保持雙曲距離——施瓦茨-皮克中的等號情形。
施瓦茨-皮克不需指定基點，這點不同於樸素引理，但它仍要求 f 把圓盤映入圓盤（而非僅僅解析）。密度 1/(1 - |z|^2) 在邊界 |z| = 1 處爆炸，這正是為何邊界圓在雙曲度量下位於無窮遠處。