雙曲距離（hyperbolic distance）
一旦你接受圓盤上的雙曲尺，就能問任何幾何最基本的問題：兩點相距多遠？雙曲距離就是答案——用那把特殊尺所量、連接兩點的最短路徑的長度。它是貨真價實的距離：永不為負、僅當兩點重合時為零、對稱、且滿足三角不等式。但它與你眼睛報告的直尺距離天差地遠。
有一個乾淨的封閉公式。對單位圓盤中兩點 z 與 w，先構造稱為偽雙曲距離的莫比烏斯不變量 rho(z, w) = |(z - w)/(1 - w-bar z)|，它介於 0 與 1 之間。真正的雙曲距離則為 d(z, w) = log((1 + rho)/(1 - rho))，或等價地 2 artanh(rho)（在曲率 -1 歸一化下；有些教材用 1/2 的因子）。其所以成立是因為自同構不變性：圓盤自同構保持雙曲距離，故你可用一個布拉施克因子把一點滑到中心 0，那裡距離化約為徑向公式 log((1 + |w'|)/(1 - |w'|))，而量 rho 正是那個布拉施克因子所保持不變者。所以量距離就是：把一點重置中到 0、讀出另一點的半徑、套用 log 公式。
雙曲距離正是施瓦茨-皮克引理所控制的量：圓盤的解析自映射永不增加它。它支配複動力系統中軌道的間距、黎曼曲面的幾何、迭代映射的收斂理論、以及模群在半平面上的作用。一個誠實的提醒：任意兩內部點間的雙曲距離有限，但當任一點趨近邊界時增至無窮，故邊界圓「在無窮遠」——它根本不是雙曲平面的一部分，只是它的地平線。並注意偽雙曲 rho 本身也是有用的距離（它同樣是自同構不變的），但它與 d 不同；rho 在 1 處飽和，而 d 趨於無窮。
取 z = 0 與 w = 1/2。則 rho = |(0 - 1/2)/(1 - 0)| = 1/2，且 d(0, 1/2) = log((1 + 1/2)/(1 - 1/2)) = log 3 約 1.099。再取 z = 1/2 與 w = 3/4：rho = |(1/2 - 3/4)/(1 - (3/4)(1/2))| = |(-1/4)/(5/8)| = 2/5，得 d = log((1 + 2/5)/(1 - 2/5)) = log(7/3) 約 0.847——儘管 1/2 與 3/4 在紙面上看起來比 0 與 1/2 更近，它們卻可處於相當的雙曲距離，因為它們更靠近昂貴的邊緣。
d(z,w) = log((1+rho)/(1-rho))，其中 rho = |(z-w)/(1 - w-bar z)|——自同構不變。
別把偽雙曲距離 rho（落在 [0,1)）與真正的雙曲距離 d（落在 [0, 無窮)）混淆。它們由 d = log((1+rho)/(1-rho)) 相連，但只有 d 沿測地線可加；rho 則否。