零點計數積分（the zero-counting integral）

想像你想知道某方程式有幾個根落在給定區域內，但你沒有根的公式。零點計數積分就是那個訣竅：你沿區域算一個圍道積分，計數便蹦出來。它是輻角原理被當作具體配方而非原理陳述來用——一種不必解出零點就能數出它們的辦法。

當 f 在簡單閉圍道 gamma 上及其內部解析（無極點）、且在 gamma 上無零點時，內部零點個數（按重數計）為 N = (1 / (2 pi i)) 乘以 f'(z) / f(z) dz 沿 gamma 的積分。方法走一遍：選一條圈住目標區域的圍道，作被積式 f'/f，逆時針沿圍道積分一次，除以 2 pi i——結果是一個非負整數，即零點計數。要進一步定出單個零點的位置，你還可以算 (1 / (2 pi i)) 乘以 z f'(z) / f(z) dz 沿 gamma 的積分，它給出內部零點之和（按重數加權）；若內部只有一個零點，那個和就是該零點本身。

這是可靠數值求根的骨幹。在用牛頓法去追一個根之前，演算法可以用這個積分先確認所選方框內真的有根、有幾個——以防迭代漫遊到別處的某個根去。它也乾淨地證明存在性：若積分算出來為正，那裡面必有零點，即使沒有閉式根存在。誠實的限定與輻角原理相同：圍道必須避開所有零點，而若存在極點，你數的是零點減極點，不是單純的零點。