解析函數的無窮可微性（infinite differentiability）

在實數線上，擁有一個導數幾乎不告訴你能否有第二個。函數 x^2 sin(1/x)（在 0 處適當補定義）可微一次卻不可微兩次；你可以造出恰好可微 k 次、不能再多的函數。在複數世界裡，這整座階梯塌縮成單獨一階：一個在開集上即使只複可微一次的函數，在那裡便自動無窮多次可微。

這是廣義柯西公式的直接贈禮。因為只要 f 解析（柯西公式只需要一個導數份量的結構，即 f 在 gamma 上及其內部解析），f^(n)(z_0) = (n! / (2 pi i)) 乘以 f(z) / (z - z_0)^(n+1) dz 沿 gamma 的積分對每個 n 都存在，於是每一個更高階導數不僅存在，本身還由一個圍道積分給出——而由這種積分給出的函數又是解析的。因此 f'、f''、f''' 等等也全都解析。不存在「可微兩次卻不可微三次」的解析函數。

為何重要：這是複可微遠強於其實變數表親的最乾淨徵兆。它是通往解析性的橋樑——一旦你知道 f 光滑且其導數受控（柯西估計），你就能組裝出它的泰勒級數並證明它收斂到 f。解析、無窮可微、與可展為冪級數，原來是同一類函數的三個名字，這個等價對實函數毫無對應。