解析函數的剛性

這是複分析中最令人驚嘆的單一事實的預覽，也是整門學科值得鑽研的理由：一個在開集上「僅」複可微一次的函數，自動在該處無窮多次可微，且更等於它自身圍繞每一點的收斂泰勒級數。一次導數就免費為你買下全部導數，外加一個冪級數公式。

把這與實微積分鮮明對比，那裡這些性質彼此完全獨立。實函數可以一次可微卻不二次可微（想想以 0 延拓的 x^2 sin(1/x)）；可以無窮可微卻不等於其泰勒級數（標準例子 e^(-1/x^2) 在 0 處所有導數為零，本身卻非零）。在複數世界這些病態無一能發生——在開集上解析即逼出完全的解析性。這就是剛性：f 在某點附近的局部資料以鐵腕掌控整個 f。

證明稍後藉柯西積分公式給出，它把 f(z)（及其所有導數）表為 f 沿環繞迴路的積分——而你可在該積分號下隨意微分任意多次。下游後果浩大：恆等定理（知道 f 在一小段弧上的值便固定它在整個連通區域上的值）、劉維爾定理、最大模原理與解析延拓，全都源於這份剛性。此刻，只須記住這句口號：在複數世界，一次可微即永遠可微且解析。