恆等定理
你需要知道解析函數的多少，才能知道它的全部？少得驚人。恆等定理說：連通區域上的解析函數，完全由它在任何一個於區域內部有極限點的集合上的取值所確定——哪怕只是一個收斂的點列。若兩個解析函數在這樣一個微小的集合上相等，它們就處處相等。之後沒有任何相異的自由：局部資料已經決定了整體函數。
精確地說：設 f 與 g 在連通開集 D 上解析。若 f = g 的點集在 D 內部有一個極限點（聚點），則在整個 D 上 f = g。證明就是零點孤立性的喬裝。考慮 h = f - g，它解析且在一個有極限點的集合上消失。若 h 不恆為零，其零點應孤立——但零點的極限點與孤立性矛盾。故 h 在一個鄰域上恆為零，再由連通性論證把這個「恆為零」散布到整個 D。連通性至關重要：在兩塊分離的片段上，f 可以在一塊上等於 g、在另一塊上相異。
這是複分析的唯一性與剛性的來源。它意味著解析函數沒有局部的擺動空間：你無法在一小塊上擾動它又保持解析。它保證一個實函數（如 sin x 或 e^x）至多有一個解析延拓到複平面——所以複正弦與複指數是被迫的、不是選的。而它是解析延拓的邏輯支柱：若你能把函數延拓到原定義域之外，延拓是唯一的，因為任兩個延拓在重疊處相等、從而處處相等。
兩個整函數在 z = 1, 1/2, 1/3, ...（聚集於 0）相等；因此它們處處相等。這就是我們如何知道只有「一個」整函數在實軸上等於 sin x：實數有極限點，故任何解析延拓被迫成為通常的複 sin z。恆等式如 sin^2 z + cos^2 z = 1 也基於同樣原因從實線轉移到整個平面。
在一個於區域內有極限點的點列上相等，就迫使處處相等——局部資料固定了整個函數。
極限點必須位於連通區域的「內部」，且區域必須連通。在一個僅以邊界點為極限點的集合上相等（如整數，它們只在無窮遠聚集）並不迫使兩函數重合。