由最大原理導出的剛性與唯一性（rigidity and uniqueness）

解析函數是僵硬的：微小的約束會擴散成完全的控制。「剛性」是這現象的總稱。最大模原理是它最銳利的表達之一——因為 |f| 不能在內部達到峰值，一個在邊界上被釘死的解析函數便處處被釘死，任何殘餘的自由都崩潰。在柔軟的實函數能被輕推之處，解析函數卻緊扣到單一的形狀。

最乾淨的唯一性論證如下。設 f 與 g 在某有界區域上解析、連續延拓到其邊界、且在邊界上相等。令 h = f - g。則 h 解析且在邊界上為零，故依最大模原理，|h| 的最大值（在邊界上）為 0；因此 |h| 處處不超過 0，意即 h = 0，f = g 處處成立。在邊緣相等便逼出內部相等——帶有給定邊界值的解析函數恰有一個，而非一整族。

這種剛性在整個學科中迴響。它驅動黎曼映射定理唯一性的那一半（將區域共形映到圓盤的映射，一旦正規化便唯一）、施瓦茨引理的等號情形（等號逼出一個旋轉），以及狄利克雷問題的唯一性。合理的警告：剛性是特性而非缺陷，但它意味著解析函數無法被局部編輯——你無法在一小塊上更改它而仍保持解析，這不同於實分析中的凸起函數。