由邊界值決定（determination by boundary values）

把柯西公式的哲學要點單獨說出來就是：解析函數是如此剛硬，以至於它在一條閉曲線上的值完全釘死了內部處處的值。沒有任何自由度剩下。若兩個解析函數在一個環繞的迴路上相等，它們在內部每一點都必相等。知道邊界就是知道全部。

為何這令人驚訝：在普通的實分析裡，圓盤上的函數在內部幾乎可以為所欲為，同時仍符合某些給定的邊界值——有無窮多個光滑函數帶有相同的邊界資料。解析性消除了這種自由。因為 f(z_0) = (1 / (2 pi i)) 乘以 f(z) / (z - z_0) dz 沿 gamma 的積分，只依賴於 gamma 上的值 f(z)，固定這些邊界值便由一條確定的公式逐點固定了 f(z_0)。內部不是另一個任你填寫的舞臺；它是被逼出來的。

這種剛性有深刻的親戚。最大模原理與恆等定理是同一份僵硬性的不同面孔：解析函數無法在定義域的不同部分各自獨立地變動。同樣的觀念驅動著調和函數的狄利克雷問題，在那裡於邊界上指定值便確定了內部唯一的調和函數。值得帶走的教訓：解析函數是偽裝成局部的整體物件——一個局部立足點、或一條邊界，就控制了其餘的一切。