狄利克雷問題（Dirichlet problem）
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假設你只能在一塊金屬板的邊緣上塗出一個溫度圖樣——比方說邊緣右半邊熱、左半邊冷——然後讓板子安定下來。一旦溫度不再變化，內部各處看起來如何？在給定邊界上指定值的情況下求那個內部圖樣，就是狄利克雷問題。它是位勢理論的核心邊界值問題。
乾淨地陳述：給定一個區域 D 及定義在其邊界上的連續函數 g，求一個函數 u，使它在 D 內部調和（即 u_xx + u_yy = 0）且在邊界上與 g 相符，意思是 u 連續延伸到邊界且在那裡 u = g。其中綁著兩個問題：這樣的 u 存在嗎？是否唯一？唯一性容易，由最大值原理可得——兩個有相同邊界資料的解，其差是調和的且在邊界上為零，因此處處為零。存在性是較難的一半：對圓盤由一條顯式公式（帕松積分）成立，對好的區域藉由共形映射把圓盤的答案移植過去，對出乎意料地一般的區域則由佩龍方法用次調和函數與障壁來建立。
狄利克雷問題正是調和函數理論大顯身手之處。解出它便告訴你穩態溫度、給定邊界電壓的靜電位勢，或沿金屬線釘住的薄膜的平衡形狀——全是同一套數學。誠實的警告：並非每個區域配每種邊界都表現完美。在某些壞的邊界點（想像向內尖刺的頂端，或一個孤立的穿孔）解可能無法連續地取得指定的邊界值；這樣的點稱為非正則點，而刻畫正則點（那些配有障壁的點）是這個理論真正的一部分。
在單位圓盤上，於單位圓指定邊界值 g(theta) = cos theta。調和的內部解是 u(x, y) = x（以極式為 r cos theta），它在邊界 r = 1 上等於 cos theta，且在內部滿足拉普拉斯方程。
圓上的邊界資料 cos theta 產生調和內部 u = r cos theta = x。
在邊界上指定 u 的值是狄利克雷問題；改為指定法向導數（通量）則是諾伊曼問題——一個有自身可解性條件的不同問題。別把兩者混為一談。