調和函數的最大值原理（maximum principle for harmonic functions）
站在一塊處於穩態溫度的金屬板裡面問：最熱的點可能在中間某處嗎？答案是不行——熱會從任何內部峰值流走，直到它變平。最暖與最冷的地方必定位於邊界上。這就是調和函數的最大值原理（依同樣邏輯還有最小值原理）：一個非常數的調和函數，在其區域的任何內部點都既不取得最大值也不取得最小值。
更精確地說，設 u 在有界區域 D 上調和且連續延伸到邊界。則 u 在 D 的閉包上的最大與最小值都在 D 的邊界上達到。若最大（或最小）值在某內部點達到，則 u 必在整個連通區域上為常數——這是強形式。其背後的引擎是平均值性質：在任一內部點 z_0，值 u(z_0) 等於 u 在以 z_0 為心的小圓上的平均。若 u(z_0) 是周圍最大的值，鄰居的平均便不可能超過它，於是附近所有值都必等於 u(z_0)；反覆如此會把最大值散布開來，把 u 釘成常數。
回報是邊界值問題的唯一性。若兩個調和函數在 D 的邊界上相等，它們的差是邊界值為零的調和函數，於是由最大與最小值原理，這個差在各處都被夾在 0 與 0 之間——它恆等於零。因此一個調和函數完全由其邊界值決定，這正是使狄利克雷問題適定的關鍵。一點警告：這需要區域有界；在無界區域上，調和函數可以無限增長而從不取得內部最大值，所以該原理必須謹慎陳述（需用一個無窮遠處行為的假設）。
在單位圓盤上，u(x, y) = x 是調和的；它在閉圓盤上的最大值為 1、最小值為 -1，兩者都在邊界圓上達到（在點 1 與 -1），絕不在內部。
調和函數 x 只在邊界上達到其極值，恰如原理所要求。
此原理談的是實調和函數及其值；對解析函數的類比敘述是最大模原理，談的是 |f| 而非 f 本身（Re f 在內部取最大值同樣被禁止，但 Re f 可為負——除非 f 不為零，否則沒有「最小模」原理）。