調和函數（harmonic function）

想像一塊薄金屬板已經達到穩定溫度：任何地方都不再升溫或降溫，熱已經安定下來。此時每一點的溫度就是一個調和函數。它的定義性特徵是一種完美的平衡——任一點的值恰好等於它周圍各值的平均，所以沒有任何點會自成一個局部的熱點或冷點。同樣的形狀也描述真空中的靜電位勢，以及平滑、無旋流體的速度位勢。

精確地說，一個兩實變數的實值函數 u(x, y) 在某開區域上是調和的，若它在那裡有連續的二階偏導數，且滿足拉普拉斯方程 u_xx + u_yy = 0。組合 u_xx + u_yy 稱為 u 的拉普拉斯算子；令它為零正是強加那種平均平衡。製造調和函數的一個快捷法：取任意解析函數 f = u + i v；它的實部 u 與虛部 v 都自動是調和的。例如 f(z) = z^2 = (x^2 - y^2) + i (2 x y) 一次就給你兩個調和函數，u = x^2 - y^2 與 v = 2 x y，你可驗證 u_xx + u_yy = 2 + (-2) = 0。

調和函數是解析函數在實變數中的影子，並承繼了它大部分的剛性：平均值性質、最大值原理、光滑性，以及一旦固定邊界資料後的唯一性。它們是位勢理論與物理學的家常便飯——穩態溫度、靜電學、重力、理想流體流動都住在這裡。誠實的警告：調和指的是實值函數與一個二階條件；別把它和解析混淆，後者是複值的、一階的（柯西-黎曼）條件。每個解析函數都給出調和的部分，但一個調和的 u 只在局部上、或在區域夠好（單連通）時才在整體上是某解析函數的實部。