平面上的拉普拉斯方程（Laplace's equation）
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物理中許多最根本的設定——薄板中的穩態溫度、無電荷區域中的電壓、撐在金屬線環上的肥皂膜的高度——全都化約成同一個方程。它說：在每個內部點，值是其鄰居的平均，沒有任何源把它往上或往下推。這個方程就是拉普拉斯方程，它的解恰好就是調和函數。
在平面上，以 u = u(x, y) 記未知實函數，拉普拉斯方程為 u_xx + u_yy = 0，其中 u_xx 與 u_yy 是對 x 與 y 的二階偏導數。左邊 u_xx + u_yy 是拉普拉斯算子，常寫作 u 的拉普拉斯算子；拉普拉斯方程就是說這個拉普拉斯算子在區域上處處為零。在極座標 (r, theta) 下同一方程讀作 u_rr + (1/r) u_r + (1/r^2) u_(theta theta) = 0，這個形式在圓盤與環域上很方便。與複分析的深刻聯繫：若 f = u + i v 解析，柯西-黎曼方程 u_x = v_y、u_y = -v_x 迫使 u 與 v 都滿足拉普拉斯方程，所以調和函數與解析函數是同一世界的兩個視角。
拉普拉斯方程是橢圓型偏微分方程的原型——光滑、剛硬，且完全由邊界行為支配（沒有時間變數，沒有東西在傳播）。它的非齊次表親 u_xx + u_yy = rho（給定的源 rho）是帕松方程，用來建模帶電荷或熱源的區域。誠實的界線：拉普拉斯方程完整的偏微分方程／泛函分析理論屬於另一門研究；這裡我們專注於複分析這一側——用解析函數、共形映射與帕松公式在平面上理解並求解它。
u(x, y) = log|z| = (1/2) log(x^2 + y^2) 在除原點外處處滿足拉普拉斯方程：以極式 u = log r，故 u_rr + (1/r) u_r = -1/r^2 + (1/r)(1/r) = 0。它是位於 0 處點電荷或線源的位勢。
對數 log r 在遠離原點處是調和的——拉普拉斯方程的基本奇異解。
拉普拉斯方程沒有時間、也沒有東西在「流動」——它描述平衡，而非演化。與它密切相關的熱方程與波動方程是不同的東西；只有熱方程的穩態才化約為拉普拉斯方程。