調和共軛（harmonic conjugate）
當兩個實函數 u(x, y) 與 v(x, y) 能合組為一個解析函數 f = u + i v 時，它們互為調和共軛。此處「共軛」一詞表示一種夥伴關係：v 是（在相差一常數下唯一的）那個夥伴，使得 u + i v 成為複可微，兩者由柯西-黎曼方程 u_x = v_y、u_y = -v_x 鎖在一起。
給定調和的 u，你藉積分柯西-黎曼方程來構造其共軛 v。由 v_x = -u_y 與 v_y = u_x，先對 x 積分 v_x = -u_y 得到 v（差一個 y 的函數），再微分並比對 v_y = u_x 以確定該函數。例如取 u = x^2 - y^2，需 v_x = -u_y = 2y 且 v_y = u_x = 2x；積分得 v = 2xy + C，確實 u + i v = (x^2 - y^2) + i(2xy) = z^2。
這個關係在一個重要意義上「不」對稱：若 v 是 u 的調和共軛，則 u 是 -v 的調和共軛（差一個負號），故角色不能不加小心地互換。從幾何上看，u 與 v 的等位曲線正交相交（正交族），這正是調和共軛在物理中作為流的等位線與流線成對出現的原因。構造「整體」共軛還需區域單連通，否則共軛可能多值。
取 u = e^x cos y（調和：u_xx + u_yy = e^x cos y - e^x cos y = 0）。其共軛滿足 v_x = -u_y = e^x sin y 與 v_y = u_x = e^x cos y，得 v = e^x sin y；於是 u + i v = e^x(cos y + i sin y) = e^z。
共軛藉積分柯西-黎曼方程求得；此處 u 與 v 合組成 e^z。
共軛在局部總是存在，但「整體」單值的共軛需要單連通區域；在環狀區域上（想想 log z）共軛可能多值。