解析函數與柯西-黎曼方程
由實部還原解析函數
調和共軛思想的一個驚人後果：解析函數剛性十足，以致在良好區域上，「僅」知其實部 u(x, y) 便能決定整個函數 f = u + i v（差一個可加的純虛常數）。一半的資訊暗中承載另一半。重建 f 的步驟有時稱為 Milne-Thomson 方法。
以下是平實的步驟。從調和的 u 出發（應驗證 u_xx + u_yy = 0）。虛部 v 是其調和共軛，由柯西-黎曼方程求得：對 y 積分 v_y = u_x 得到 v（差一個 x 的函數 g(x)）；把該 v 對 x 微分並比對 v_x = -u_y 以解出 g'(x)，再積分得 g。組成 f = u + i v 即得解析函數，一旦固定某點的值（積分常數）便唯一。
為何在意？在應用問題中你常知道物理位勢 u（溫度或電壓），而想得到完整的複位勢，其虛部 v 給出流線或通量。此重建在單連通區域上乾淨可行；在帶洞的區域上，共軛 v 可能不單值（典型例子是 u = ln|z|，其共軛是多值的 arg z），這初次窺見為何分支切割與多值性在本學科中不可避免。
給定 u = x^3 - 3 x y^2（調和）。則 v_y = u_x = 3x^2 - 3y^2，故 v = 3 x^2 y - y^3 + g(x)；將 v_x = 6 x y 比對 -u_y = 6 x y，迫使 g'(x) = 0。故 v = 3 x^2 y - y^3，且 f = u + i v = z^3。
僅由 u，柯西-黎曼方程重建 v 進而重建 f，此處還原出 z^3。
唯有 u 確為調和且區域單連通才行；在環狀區域上（如平面去掉原點），還原出的 v 可能多值，如 ln|z| 與 arg z。
又称
另见