藉共形映射移植問題

假設你必須求出一塊奇形怪狀的平板內部的穩態溫度，或一個彎曲古怪的電極周圍的電場。幾何太彆扭，直接寫出答案看來毫無希望。訣竅是把整個問題搬到一個答案容易的區域——圓盤、半平面、直條帶——在那裡解出，再把解搬回來。共形映射就是搬運的載具，而且它搬運時不會破壞物理，因為這裡的物理是由角度支配的。

之所以行得通，靠的是一個小小的奇蹟：若 h 是某區域上的調和函數（拉普拉斯方程 h_xx + h_yy = 0 的解），而 f 是從第二個區域映滿第一個區域的共形映射，則合成 h(f(z)) 在第二個區域上仍是調和的。調和性在共形換元下存活。於是配方是：(1) 找一個由容易區域 E 映滿困難區域 D 的共形映射 f；(2) 在 E 上解出（容易的）問題——通常可直接寫下調和函數；(3) 與 f 合成，把解拉回 D；(4) 沿途轉換邊界條件，因為 f 把邊界一一對應起來。經典情形就是狄利克雷問題：給定邊界溫度，求內部值。

這是共形映射最強大的單一應用，也是黎曼映射定理被珍視的緣由——它保證幾乎任何單連通區域都能共形地映滿單位圓盤，而在圓盤上狄利克雷問題已由帕松積分公式一勞永逸地解出。然而有兩個誠實的提醒。第一，並非每個量都能被移植：長度、面積以及拉普拉斯算子的實際大小都會改變，因此凡是不基於角度的東西，你都必須追蹤共形因子 |f'|。第二，明確找出映射 f 往往才是難處；定理保證它存在，卻不會把它交到你手上。