共形映射（conformal map）

想像一張細密的方格紙鋪在一塊平面區域上——每個小方格的邊互相垂直相交，任何地方畫的小圓仍是圓。共形映射是把這塊區域彎折、重塑到另一塊區域的一種方式，使得即使距離與整體形狀被扭曲，每一個相交的角度仍被精確保留。兩條以 30 度相交的路徑，映射後仍以 30 度相交；一個小方格映射後仍幾乎是個方格，只是被旋轉並縮放了。格線可以彎曲伸縮，但局部上絕不會被剪切成歪斜的平行四邊形。

嚴格地說，從一個開區域到另一個開區域的映射 f 是共形的，若它在該區域上處處解析（複可微），且其導數 f'(z) 在那裡恆不為零。角度得以保留的祕密在於複導數的本質：在點 z_0 附近，映射的行為像 z -> f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0)，而乘以固定的複數 f'(z_0) 不過是一次旋轉（旋轉角為 arg f'(z_0)）加上一次均勻縮放（縮放因子為 |f'(z_0)|）。旋轉與縮放對所有方向一視同仁，因此無法改變兩曲線之間的夾角。這正是複導數「旋轉伸縮（amplitwist）」的圖像。

共形映射之所以重要，是因為它能把一個困難的問題重畫在一個容易的區域上，而不破壞那些建立在角度之上的定律——最重要的是拉普拉斯方程，它支配著穩態熱傳導、靜電學與理想流體流動。一個誠實的提醒：「保角」是一個嚴格的局部敘述，只在每一點的無窮小極限下成立。共形映射仍可能把一個大方格整體上扭成劇烈彎曲的形狀；它所保證的只是無窮小的圖形保持其形狀。而 f'(z) 不為零的要求是本質的——在導數為零之處，角度完全不被保留。