共形性失效的臨界點

共形映射保留角度——但前提是導數絕不為零。於是自然要問：在導數恰好為零的地方會發生什麼？這樣的點稱為映射的臨界點。在那裡，保角的魔咒被打破，穿過該點的曲線其夾角會以一種非常具體、可預測的方式被扭曲：它被相乘。

其機制如下。若 f'(z_0) = 0 但 f 不是常數，則在 z_0 附近泰勒展開中最低階且不消失的項的階數 k 至少為 2：f(z) = f(z_0) + a_k (z - z_0)^k + （更高階項），其中 a_k 不為零。在這樣的點附近，f 的行為像模型映射 w = z^k，而 z^k 在原點把角度乘以 k。具體地說，兩條在 z_0 以夾角 theta 相交的曲線，其像以角 k*theta 相交。整數 k 是臨界點的階（它等於 f' 在該處零點的階再加 1）。在普通點 f' 不為零，k = 1，角度不變——即共形的情形。

這正是為何 z -> z^2 在原點把直角張開成平角：那裡 k = 2，所以角 pi/2 變成 pi。教訓是附在每一條共形映射主張上的警告：要把一個區域共形地映滿另一個區域，你必須避開臨界點，否則你區域的角會被張開折開（或反向透過局部反函數而被折合）。臨界點也正是解析映射失去局部一對一性之處，因此它們恰是建立乾淨反函數的障礙。